Позиционная и непозиционная системы счисления. Системы счисления Что позиционные непозиционные системы счисления

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же возникла и необходимость в названии и записи чисел.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Называть числа и вести счет люди научились еще до появления письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног. Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета, как деревянные палочки с зарубками, шнуры и веревки с узлами. Веревочные счеты с узелками употреблялись в России и во многих странах Европы.

Способ «записи» чисел при помощи зарубок или узлов был не слишком удобным, так как для записи больших чисел приходилось делать много зарубок или узлов, что затрудняло не только запись, но и сравнение чисел друг с другом, трудно было выполнять и действия над ними. Поэтому возникли иные, более экономичные записи чисел: счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Наряду с группами по 10 элементов встречались группы по 5, 12, 20 элементов. Так, счет двадцатками использовали люди племени майя. «Следы» такого счета сохранились в датском и некоторых других европейских языках. Иногда применялся счет пятками, а также группами по 12 элементов. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5. Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой - сколько взято единиц. Древневавилонская система используется до сих пор при измерении времени и углов в минутах и секундах.

Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Эта система, принятая сейчас почти всюду, основана на группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах. Десятичная система счисления возникла в Индии, в VI в. Однако вид индийских цифр значительно отличается от современной их записи. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские цифры много раз изменялись, пока приняли современную форму.

Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систему счисления арабы. Распространению же этого способа записи чисел и правил выполнения арифметических действий над числами способствовала книга среднеазиатского ученого аль-Хорезми «Об индийском счете», созданная им в начале IX в.

Европейцы познакомились с достижениями индо-арабской математики в XI в. Расширение торговли повлекло за собой значительное усложнение счета, появилась потребность в совершенствовании методов счета. Поэтому европейские математики обратились к трудам греческих и арабских ученых, перевели их на латинский язык. С десятичной системой счисления европейцы познакомились через перевод книги аль-Хорезми. В 1202 г. выходит «Книга абака» Л. Фибоначчи, где также вводятся индийские цифры и нуль. С XIII в. начинается внедрение десятичной системы, и к XVI в. она стала повсеместно использоваться в странах Западной Европы.

Распространению десятичной системы в России способствовала книга первого русского выдающегося педагога-математика Л.Ф.Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», вышедшая в 1703 г. на славянском языке. Она являлась энциклопедией математических знаний того времени. Все вычисления в ней проводятся при помощи цифр индийской нумерации. В «Арифметике» выделено особое действие «нумерация, или счисление»: «Нумерация есть счисление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащих; последняя же 0 (которая цифрой или ничем именуется), если стоит одна, то сама по себе значения не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащей, то увеличивает в десять раз, как будет показано в дальнейшем». Однозначные числа в книге Л.Ф.Магницкого называются «перстами»; числа, составленные из единиц и нулей, - «суставами»; все остальные числа - «сочинениями». Таблица с названиями круглых чисел доведена Магницким до числа с 24 нулями. В «Арифметике» в стихотворной форме подчеркнуто: «Число есть бесконечно...»

Непозиционные системы счисления

Различают позиционные и непозиционные системы счисления . В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел) всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обозначается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV - четыре, ХС - девяносто. Запишем несколько чисел в римской нумерации.

193 - это сто (С) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (ХС), плюс три (III); следовательно, число 193 записывается как СХСШ.

564 - это пятьсот (D) плюс пятьдесят (L) плюс десять (X) плюс, четыре, т.е. пять без одного (IV). Следовательно, 564 записывается как DLXIV.

2708 - это две тысячи (ММ) плюс пятьсот (D) плюс сто (С) плюс сто (С) плюс пять (V) плюс три (III). Следовательно, число 2708 записывается так: MMDCCVIII.

Если число содержит несколько (немного) тысяч, то для его записи в римской нумерации пользуются повторением знака М. Вообще же числа четырех-, пяти- и шестизначные записывались с помощью буквы m (от лат. слова mille - тысяча), слева от которой записывали тысячи, а справа - сотни, десятки, единицы. Так, запись CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133842.

В России до XVII в. в основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак - титло.

Естественно, что такие системы записи чисел, как римская или славянская, были удобнее, чем зарубки на бирках, поскольку позволяли записывать большие числа. Однако выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Поэтому на смену им пришла десятичная система счисления.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные системы счисления. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:

В числе цифры записываются слева направо в порядке убывания. Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей цифры, то она вычитается, если справа ― прибавляется. Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 ― 1 = 9, СССXXVII=100+100+100+10+10+5+1+1=327.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией .

Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе ― шестидесятеричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим ― десятки. Следы вавилонской системы сохранились до наших дней в способах измерения и записи величин углов и промежутков времени.

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной системы счисления, так как в ней десять цифр.

Для того чтобы лучше понять различие позиционной и непозиционной систем счисления, рассмотрим пример сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Большая цифра соответствует большему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555 7 ― число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы ― это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p , как

x=a n *p n +a n ―1*p n―1 + a 1 *p 1 +a 0 *p 0 ,

где a n ...a 0 ― цифры в представлении данного числа.

Так, например, 1035 10 =1*10 3 +0*10 2 +3*10 1 +5*10 0 ;

1010 2 = 1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 10.

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы, как человека, так и вычислительной машины. Однако иногда в силу различных обстоятельств приходится обращаться к другим системам счисления, например, к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.

Для того чтобы нормально оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, важно понимать, что принципиально они ничем не отличаются от привычной нам десятичной системы счисления. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.

Почему же мы не пользуемся другими системами счисления? В основном потому, что в повседневной жизни мы привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и нам не требуется никакая другая система счисления. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать над числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.

Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.

Методику представления информации в двоичной форме можно пояснить, проведя следующую игру. Нужно у собеседника получить интересующую нас информацию, задавая любые вопросы, но получая в ответ только одно из двух ДА либо НЕТ. Известным способом получения во время этого диалога двоичной формы информации является перечисление всех возможных событий. Рассмотрим простейший случай получения информации. Вы задаете только один вопрос: "Идет ли дождь?". При этом условимся, что с одинаковой вероятностью ожидаете ответ: "ДА" или "НЕТ". Легко увидеть, что любой из этих ответов несет самую малую порцию информации. Эта порция определяет единицу измерения информации, называемую битом. Благодаря введению понятия единицы информации появилась возможность определения размера любой информации числом битов. Образно говоря, если, например, объем грунта определяют в кубометрах, то объем информации ― в битах. Условимся каждый положительный ответ представлять цифрой 1, а отрицательный ― цифрой 0. Тогда запись всех ответов образует многозначную последовательность цифр, состоящую из нулей и единиц, например 0100.

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам. Но, не всегда и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время применялась пятеричная система счисления. В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими:

• для ее реализации используются технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток ― нет тока, намагничен ― ненамагничен);
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты).

В двоичной системе счисления всего две цифры, называемые двоичными (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению термина бит, ставшего названием разряда двоичного числа. Веса разрядов в двоичной системе изменяются по степеням двойки. Поскольку вес каждого разряда умножается либо на 0, либо на 1, то в результате значение числа определяется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. Запись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиняются тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной системе счисления перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

Рассмотрим подробнее, как происходит процесс умножения двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе счисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый элемент второго множителя равен 1, то она заносит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11010, и если, второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется.

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному делению, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Выполнение основной процедуры ― выбор числа, кратного делителю и предназначенного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом могут быть только либо 0, либо сам делитель.

Следует отметить, что большинство калькуляторов, реализованных на компьютере, позволяют осуществлять работу в системах счисления с основаниями 2, 8, 16 и, конечно, 10.

При наладке аппаратных средств компьютера или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит ― 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь различных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы ― 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления. В различных языках программирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает число 9.

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления применяется десять различных цифр и шесть первых букв латинского алфавита. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус. Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 ― это разные числа. В других случаях можно указать основание системы счисления нижним индексом.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления.

Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе.
Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание – это число цифр, используемых в системах счисления.
Например: двоичная система счисления (А2), восьмеричная система счисления (А8) т.д.
Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе.
Например: римская система счисления (II, V, XII)

1. Позиционная и непозиционная системы счисления

Признаки непозиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа не зависит от его позиции.

Примеры непозиционной системы счисления: римская.

Еще у людей каменного века возникла необходимость считать мамонтов или своих соплеменников. Естественным способом счета явилась простейшая модель – каждый мамонт обозначается камушком или палочкой, для подсчёта делались зарубки и вязались узелки.

В римской системе счисления были придуманы следующие цифры: I -соответствует 1, V - 5, X - 10, L - 50, С – 100, D - 500, М – 1000. Но система непозиционная и при увеличении числа надо придумывать новые цифры. Поэтому действия с римскими цифрами очень неудобны. (см. презентацию)

Непозиционные системы счисления были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем не удобны для умножения и деления. (На Руси до 18 века использовались непозиционные системы славянских цифр.)

Признаки позиционной системы: - это система, в которой положение знака в записи числа зависит от его позиции.

Идеи позиционного построения систем счисления неоднократно возникали у разных народов. Отголоски этих идей можно найти в разговорном языке. Вспомните хотя бы такие фразы. Как «сорок сороков», «чертова дюжина», «тьма народа» (в древней Руси словом «тьма» обозначали нынешнее число «миллион»). Но сегодня мы остановимся на письменной интерпретации этого понятия.

Впервые идея позиционной системы возникла в древнем Вавилоне: основание системы счисления 60 – пережитки этого до сих пор сохранились в отсчете времени и долей градусов. Вавилоняне вплотную подошли к открытию нуля, но, увы, этого последнего шага так и не сделали. Наибольшее же распространение получила десятичная система счисления, пришедшая из Индии в 595 году нашей эры. (см. презентацию)

Значение каждой цифры в позиционной системе счисления зависит от ее места (позиции) при написании числа. Положение (позиция) цифры в записи числа определяет ее…Вопрос: «Что определяет?» Ответ: разряд; если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его место ставят цифру 0. Мы знаем, что 10 единиц любого разряда образуют новую единицу старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. С его помощью определяется «вес» единицы каждого разряда.

Позиционных систем много: двоичная, пятеричная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д., а своё название они берут в зависимости от количества цифр, используемых для составления числа в данной системе.

Формирование понятия систем счисления с разными основаниями:

Вопрос: Сколько же цифр используется в 12-ричной системе счисления?

Ответ: Двенадцать.

Вопрос: А сколько цифр используется в 8-ричной системе счисления?

Ответ: Восемь.

Форма записи чисел в различных системах счисления. (см. презентацию)

Мы рассмотрели с вами формы записи чисел, которые позволяют нам произвести:

2. Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием выполняется методом деления целого десятичного числа на основание новой системы счисления. При этом необходимо запомнить, что количество цифр для записи числа в любой системе счисления не может превышать основания этой системе.

Примеры: Переведем 29 в 3-ичную систему счисления (демонстрация учителя), а 13 в 2-ичную систему счисления(коллективно). (см. презентацию)

3. Перевод целых чисел из системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления выполнить достаточно легко. Для этого необходимо записать число в развернутой форме и вычислить его значение. (см. презентацию)

1002 3 = 1*3 3 + 0*3 2 + 0*3 1 + 2*3 0 = 27 + 0+ 0+ 2 = 29 10 (демонстрация учителя)

1101 2 = 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 10 (коллективно)

1011 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 10 (коллективно)

120 3 = 1*3 2 + 2*3 1 + 0*3 0 = 9 + 6 + 0 = 15 10 (коллективно)

Учитель: Ребята! Мы с вами проделали огромную работу: выяснили, какие бывают системы счисления, разобрали правила перевода чисел из одних систем в другие. А сейчас мне хотелось бы зачитать вам строки стихотворения:

Десятичной ту систему мы привыкли называть.

Были палочки и счеты, калькулятор, Пифагор,

А теперь перед глазами – серебристый монитор.

Ну, а как она считает – предстоит нам разобрать.

Мы считаем в десятичной – два, двенадцать, сто один,

А компьютер лишь в двоичной – либо ноль, либо один».

Учитель: Ребята, я прочитала вам эти строки не просто так! А для чего? Как вы думаете? Ответ учащихся.

Итог: я хотела, что бы вы обратили внимание на то, что компьютер всю информацию преобразует в двоичный код. Изучение различных систем счисления даёт нам возможность разговаривать с компьютером на одном языке и понимать всю зашифрованную им информацию!

Выполнение творческих заданий на закрепление материала: (см. презентацию)

А сейчас самостоятельно предлагаю вам выполнить задания на закрепление материала.

1. Понаблюдаем за рождением цветка: сначала появился один листочек, затем второй … и вот распустился бутон. Постепенно подрастая, цветок показывает нам некоторое двоичное число. Если вы до конца проследите за ростом цветка, то узнаете, сколько дней ему понадобилось, чтобы вырасти.

Ответ: 1001001 2 или 145 10

Критерии оценки самостоятельной работы:

Выполнено:

· все задания правильно: «5» - отлично;

· 4 задания правильно: «4» - хорошо;

· 3 задания правильно: «3» - удовлетворительно;

· менее 3 заданий правильно: «На уроке были не внимательны!»

Задание повышенной сложности для сильных учащихся.

2. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел 2®10, расшифруйте приведенное слово:

111 2 110 2 1011 2 1010 2 100 2 1000 2 111 2 1100 2 1101 2

«В Древнем Египте цифры записывались с помощью этих символов»

Ответ: иероглифы.

IV. Мониторинг

(устный опрос обучающихся, в качестве ответа используются карточки: зелёная – «ДА», красная – «НЕТ».

1 вопрос: верно ли, что в древности использовали руку как инструмент для счёта?(Да)

2 вопрос: верно ли, что в компьютерах используется римская система счисления? (Нет)

3 вопрос: верно ли, что в Древнем Вавилоне цифры изображались с помощью иероглифов?(Нет)

4 вопрос: верно ли, что число 1001101 может быть записано в двоичной системе счисления?(Да)

5 вопрос: верно ли, что десятичную позиционную систему счисления изобрели в Древней Индии? (Да)

6 вопрос: верно ли, что в позиционной системе счисления расположения цифры не зависит от её положения (места) в числе? (Нет)

7 вопрос: верно ли, что клинописью пользовались в Древнем Египте? (Нет)

8 вопрос: верно ли, что мы не пользуемся в повседневной жизни шестнадцатеричной системой счисления? (Да)

9 вопрос: верно ли, что число 34263 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Нет)

10 вопрос: верно ли, что Римская система счисления была непозиционной? (Да)

11 вопрос: верно ли, что число 443423 может быть записано в пятеричной системе счисления? (Да)

12 вопрос: верно ли, что название системы зависит от её основания? (Да)

Практика использования современных информационных технологий на уроках информатики подтвердила актуальность и действенность выбранного метода изложения материала для обучения, что позволило сделать следующие выводы: современные средства обучения - презентация и интерактивная доска помогают учителю излагать учебный материал, формируют навыки наблюдения, обеспечивают прочное усвоение обучающимися знаний, повышают интерес к предмету. Современные средства обучения позволили сократить время изложения нового материала, ускорили процесс закрепления полученных навыков, правильно понять цель и ход проделанной работы, сократили время выполнения заданий.

Рассмотренная методика проведения по теме вводного урока может быть использована в других предметных областях. Считаю необходимым предложить разработку урока своим коллегам.

Психолого-педагогическую и методическую учебную и специальную литературу по теме исследования. 2) Рассмотрели особенности обучение школьников решению логических задач на уроках информатики. 3) Охарактеризовали особенности использования ИКТ на уроках информатики. 4) Разработали методики использования информационных технологий на уроке информатики с целью обучения школьников решению логических...

При общении с компьютером. 8. Неограниченное обучение: содержание, его интерпретации и приложения как угодно велики. Глава 2. Авторская педагогическая технология «активации познавательной деятельности учащихся на уроках информатики посредством электронного учебника» 2.1 Анализ психолого-педагогического содержания темы с точки зрения ее возможностей Изучив основные положения по...

Многообразие систем счислений

Автор работы

ученик 9 класса Киреев Антон Владимирович

Руководитель проекта

Цель работы

• Познакомиться с многообразием систем счисления.

План проведения проекта

• Изучить историю возникновения систем счисления.
• Оценить достоинство и недостатки систем счисления.
• Рассмотреть какие системы счисления используются сегодня и почему.

Информационная справка

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа . К ним относятся Египетская система счисления, Римская система счисления, Древнегреческая система счисления, Славянская система счисления

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа. Позиция в числе называется разрядом. Примером таких систем являются десятичная, двоичная и т.д.

Непозиционные системы счисления

Египетская система счисления Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. (См. сводную таблицу обозначений чисел.) Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Римская система счисления

Римская система счисления Для записи чисел в римской системе счисления используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным.Напрмер, IV обозначает 4, VI-6, LX- 60, XC-90 и т.д. Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами.

Древнегреческая система счисления Древнегреческая аттическая пятеричная В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины. В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок. Число 5 записывалось специальным знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков. Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000. Тоже очень красивая система записи чисел, но очень неудобная в выполнении вычислений. Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии). В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита. Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка ". Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами. Кроме 24 букв классического греческого алфавита используются также две архаические буквы: для 6 – дигамма, напоминающая лат. F (позднее была заменена концевой сигмой σ), для 90 – коппа, похожая на лат. q, – а также, для 900, специфический значок сампи, возникший из сочетания букв сигма и пи. Хотя представляется, что возможности алфавитной нумерации в обозначении больших чисел ограничены, в работе «Исчисление песчинок» («Псаммит») Архимед разработал способ, который позволил бы выражать сколь угодно большие числа посредством специальной, созданной по определенным правилам системы наименований десятичных разрядов. Ионийская система почти в неизменном виде перекочевала к славянам, алфавиты которых (кириллица и глаголица) созданы на основе греческого.

Славянская система счисления Современный русский алфавит значительно отличается от кириллицы. Как выглядели буквы кириллической азбуки, как назывались, как звучали? Чем "и десятеричное" отличается от "и восьмеричного"? Кроме того, славянские числа записывались в непривычном нам виде: не арабскими цифрами, а буквами той же самой кириллицы. Как же записать или прочесть число, обозначенное буквой? Интересно? Для того, чтобы не перепутать число и слово, над числом ставится титло. Где ставить титло? Есть два варианта: или титло расширяется и покрывает все число, либо ставится над второй справа буквой (если число обозначено двумя и более буквами). Славянская буквенная система счисления - система десятеричная, но не являющаяся позиционной; в ней каждому из разрядов числа соответствует свой знак - буква кириллицы. Нуля в этой системе нет. Число записывается как сумма своих сотен, десятков и единиц. В каком порядке пишутся буквы? Запомнить просто: как число произносится, так оно и записывается. Вслушайтесь в названия чисел второго десятка, от 11 до 19: один-на-дцать, две-на-дцать, три-на-дцать..., т. е. один-на-десять, два-на-десять и т. д. И записывается число второго десятка соответственно: сперва буква, означающая единицы, ну, например "веди" для двойки, а за ней "и десятеричное", "i" в качестве десятки. Для всех остальных чисел, например,"тридцать три", "двести восемьдесят пять" - порядок общий: сотни, потом десятки, затем единицы. Если же требуется записать число, содержащее тысячи (например, для указания номера года от Рождества Христова или от Сотворения мира), то к буквам, обычно означающим единицы, добавляется подстрочный знак, указывающий на увеличение в тысячу раз.

Позиционные системы счисления

Двоичная система счисления В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Десятичная система счисления Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В данной системе счисления 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Пример: 33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3=3*102 +3*101+3*100

Восьмеричная система счисления В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). 3338 =3*82 +3*81+3*80

Шестнадцатеричная система счисления Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). 33316=3*162 +3*161+3*160

Двенадцатеричная система счисления Позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере. Предполагается, что такая система возникала исходя из количества фаланг пальцев на руке при подсчёте их большим пальцем той же руки. Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты (текущее состояние счёта засекалось большим пальцем), вместо загибания пальцев, принятого в европейской цивилизации. Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время. Двенадцатые доли часто встречались и в европейских системах мер. У римлян стандартной дробью была унция (1/12). 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута и т. д. Переход на двенадцатеричную систему счисления предлагался неоднократно. В XVII веке её сторонником был знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон. Вольтер в «Истории Карла XII» утверждает, что этот монарх готовил указ о переходе на двенадцатеричную систему. Во времена Великой французской революции была учреждена «Революционная комиссия по весам и мерам», которая длительный период рассматривала подобный проект, однако усилиями Лагранжа и других противников реформы дело удалось свернуть. В 1944 году было организовано «Двенадцатеричное общество Америки» (The Duodecimal Society of America), объединившее активных сторонников одноимённой системы счисления. Однако, главным аргументом против этого всегда служили огромные затраты и неизбежная путаница при переходе. Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют собственные названия:

Вывод

Итак, мы выяснили, что во всех народов использовалась система счисления своя или заимствованная у других.

Недостатками непозиционных систем счисления являются неудобство выполнения арифметических и логических операций и трудности при записи и восприятии больших чисел.

Главным преимуществом позиционных систем счисления по сравнению с непозиционными является удобство представления чисел и простота выполнения арифметических и логических операций.

Недостатком позиционных систем счисления является наличие межразрядных связей (переносов и заемов) при выполнении арифметических операций над числами, то есть невозможность выполнения арифметических операций как поразрядных (когда результат операции не зависит от ее результата в остальных разрядах). Несмотря на некоторые недостатки использование позиционных систем счисления в наши дни наиболее актуально. Огромное количество различной информации, развитие техники, множество новых устройств… Чтобы описать всё это необходима система счисления с очень мощным алфавитом и чтобы её использовать необходимо держать в памяти очень много дополнительной информации. Ну а чтобы производить различные математические действия необходимо ещё и много дополнительного времени, а им, к сожалению, современный человек не располагает. Ведь даже компьютер использует всего две цифры, а человеку на сегодняшний день достаточно 10.